没有楼的楼长的博客

Dijkstra#

dijkstra 是一个运用了贪心思想和广度优先搜索的单源最短路算法，它的时间复杂度比 SPFA 的时间复杂度稍低，很适合在没有负边权且不是随机数据（卡 SPFA）的情况下使用。

dijkstra 运用了贪心的策略，将每个点与起点的距离存到一个 dis 数组里，若这个点不与起点直接相连则将其的距离看做是无穷大（在这里用$0x7fffffff$（int 的最大值）代替）。将已经处理好的（确定是最短路的）顶点标记在一个数组里。

那要怎么处理呢？

我们先把与起点直接相连的点遍历一遍，找出与起点距离最小的点，我们在这里称之为 A 点，把它标记为处理好。为什么这样就把 A 点处理好了呢？因为按照贪心的思想，A 点如果与起点距离最小，那从起点到别的点再到 A 点的话距离一定会比从起点直接到 A 点的距离大（这也是为什么 dijkstra 不适用有负边权的图的原因）。然后我们把所有与 A 点相连的点全都遍历一遍，如果从起点到 A 点再到这个点的距离比直接从起点到这个点的距离小的话，那么我们就更新起点到这个点的距离，术语叫做 “松弛”。以此类推，一直到所有的顶点都松弛完了为止。

上图开讲#

首先我们构造这样一个图

以 A 为起点，dis 数组是这样的（下标从 0 开始）

我们遍历一遍 dis 数组，找出离 A 最近的点 E，并把它标记为已经处理好的点（绿色）。

然后我们遍历与 E 相连的点，比较从起点到 E 点再到这个点的距离，如果比从起点直接到这个点的距离短，就更新起点到这个点的距离。如 B 点，从起点到 E 点再到 B 点的距离（15）比从起点直接到 B 点的距离小（$\infty$），于是我们更新 dis 数组中到 B 点的距离。（红色表示处理过但不确定，不在程序中标记，只是为了讲着方便）

然后遍历到 F 点，可得 A-B-F 的距离（9）小于 A-F 的距离（10），于是更新 dis 数组中 A-F 的距离

与 E 点相连的点遍历完后，我们再次遍历 dis 数组并找出没有处理过的离 A 最近的点，重复 E 点的步骤，直到所有的点都处理完为止。

标记 F 点为确定的点

遍历与 F 点相连的点并更新距离
没有与 F 点相连的点，遍历 dis 数组找下一个

标记 B 点为确定的点

遍历与 B 点相连的点并更新距离
没有与 B 点相连的点，遍历 dis 数组找下一个

标记 C 为确定的点

遍历与 C 点相连的点并更新距离

找到 D 点，$20+5<\infty$，更新 A 点到 D 点的距离为 25

没有与 C 点相连的点了，遍历 dis 数组找下一个

标记 D 为确定的点

所有的点都更新完了，我们就得到了 A 点到所有点的最短路径长度

这就是利用 Dijkstra 寻找单源最短路径的方法。

为啥不能用在带负边权的图上呢#

那为什么 Dijkstra 不能用在带有负边权的图上呢？
让我们用一个图来解释一下

以 A 点为起点，最初的 dis 数组是这样的

如果按照 Dijkstra 的步骤来，第一步我们会把 C 点确定

然鹅 5 并不是 A 点到 C 点的最短距离，A-B-C 的距离是 0，这明显比 5 要小，但是我们已经确定了 A-C 的距离，我们就不会进行更新，导致输出一个错误的答案

Dijkstra 真是个难学的算法

最后是你们最想要的

模板#

邻接矩阵存储（起点为 1）：

void dijkstra()
{
    memset(dis,127/3,sizeof(dis));//初始化
    v[1]=1;
    dis[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int k=0;
        for(int j=1;j<=n;++j)//找出距离最近的点
            if(!v[j]&&(k==0||dis[j]<dis[k]))
                k=j;
        v[k]=1;//加入集合
        for(int j=1;j<=n;++j)//松弛
            if(!v[j]&&dis[k]+a[k][j]<dis[j])
                dis[j]=dis[k]+a[k][j];
    }
}

邻接链表存储（加堆优化）：

using namespace std;
const int maxn=250;
struct edge{
	int to,dis,next;
	//定义边的结构体
};
edge e[maxn*2]; //边的链表
int head[maxn],dis[maxn],cnt;
bool vis[maxn];
int n,a,b;

inline void add_edge(int u,int v,int d){
	cnt++;//把边加进去
	e[cnt].dis=d;
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;//存储上一条边
}

struct node{
	int dis;//点的结构体，dis为A点到这个点的距离
	int pos;
	bool operator <(const node &x)const
	{
		return x.dis<dis;//重载运算符，要不然c++没法比
	}
};

priority_queue<node> q;

inline void dij(){
	dis[a]=0;
	q.push((node){0,a});
	while(!q.empty()){
		node tmp=q.top();
		q.pop();
		int x=tmp.pos,d=tmp.dis;
		if(vis[x]) continue;
		vis[x]=1;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
			int y=e[i].to;
			if(dis[y]>dis[x]+e[i].dis){
				dis[y]=dis[x]+e[i].dis; //松弛
				if(!vis[y]){
					q.push((node){dis[y],y});//入队
				}
			}
		}
	}
}

我代码好丑